M/M/1 wachtsysteem

Bij het wachtsysteem komen klanten aan, voor één loket, volgens een Poisson-proces met intensiteit . Dit betekent dat de kans op een aankomst in gelijk is aan en dat de tijd tussen twee aankomsten negatief exponentieel verdeeld is met gemiddelde . De bedieningsduur is ook negatief exponentieel verdeeld; het gemiddelde van deze verdeling . Hier is eveneens op te vatten als een intensiteit: zolang het aantal klanten in het systeem >0 is, zal in een intervalletje van met kans een klant vertrekken.

De gemiddelde bedieningsduur van een klant is de inverse van de verwerkingscapaciteit van het loket:

De bezettingsgraad van een wachtsysteem is de verhouding van de aankomstintensiteit en de verwerkingscapaciteit . Voor een wachtsysteem is de bezettingsgraad van het loket gelijk aan het produkt van het aantal klanten (dat aankomt) per seconde en het aantal seconden (bediening) per klant:

 
Figuur: Toestandsdiagram van het aantal klanten in het wachtsysteem.  

Bij het berekenen van de evenwichtsverdeling volgens (4.71)--(4.73) zien we aan de hand van het toestandsdiagram in figuur 5.1 dat de verhouding tussen twee opeenvolgende kansen, , gelijk is aan . Dit geeft:

De evenwichtsverdeling, die de kansen geeft om op een willekeurig moment i klanten in het systeem aan te treffen, wordt gegeven door:

Dit lijkt op de geometrische verdeling, met i.p.v. p, maar hier begint de index bij 0 (vergelijk (2.1)). De verwachtingswaarde van de verdeling (5.14) geeft het gemiddelde aantal klanten in het systeem:

Met de formule van Little weten we dat het gemiddelde aantal klanten gelijk is aan keer de gemiddelde verblijftijd in het systeem. Daaruit volgt voor de gemiddelde verblijftijd van een klant in het systeem:

De vraag die misschien wel rijst is: ``als groter is dan , is de verblijftijd dan negatief?'' Het antwoord is dat we bij de te bestuderen wachtsystemen er stilzwijgend van uit gaan dat de evenwichtsverdeling van het Markov-proces bestaat. Voor wachtsystemen betekent dit dat (dus bij één loket dat ) moet zijn.

Een bijzondere eigenschap van de wachtrij is dat de verdeling van de verblijftijd negatief exponentieel is. Dit betekent dat we expliciet de kans dat de verblijftijd kleiner is dan, of gelijk aan t kunnen opschrijven. De kans wordt gegeven door de negatief exponentiële verdelingsfunctie van :

Percentielen van de verblijftijdverdeling kunnen direct uit de verdelingsfunctie (5.18) berekend worden. We leerden in sectie 2.5.7 (hoofdstuk 2) dat bijvoorbeeld het 99-ste percentiel, , per definitie de eigenschap heeft dat de toevalsgrootheid met 99% kans kleiner is dan, of gelijk aan, . Het 99-ste percentiel is daarom de oplossing van de volgende vergelijking:

hieruit volgt dat:

 
Figuur: Percentielen van de verblijftijdverdeling van de wachtrij. Verticaal is de verblijftijd uitgezet die met kans 1-r overschreden wordt.  

In figuur 5.2 staat ook het 63-ste percentiel getekend. Deze waarde is bijzonder omdat , waaruit direct is af te leiden dat

Dus is de gemiddelde verblijftijd, en verder is de mediaan van de verblijftijdverdeling.

Het eenvoudigste model van een processor die taken van verschillende lengte verwerkt is het model. Hierbij wordt zowel voor de tijd die verstrijkt tussen twee aankomsten als voor de bedieningsduur van een taak, de geheugenloze eigenschap verondersteld. We stellen verder dat de gemiddelde bedieningsduur 0.5 seconde is.

Men wil voor zo'n processor bepalen hoeveel taken er verwerkt kunnen worden bij een gegeven eis voor de responstijd en hoe sterk de responstijd toeneemt bij een 10% hogere bezettingsgraad. In voorbeeld 5.3 vergelijken we dit met een systeem met twee langzame processoren.

Gevraagd:

1.   Hoe hangt de gemiddelde responstijd van het systeem (de gemiddelde verblijftijd van een klant) af van de aankomstintensiteit ?
2.   Hoeveel taken per seconde kunnen er verwerkt worden als de gemiddelde responstijd 2.5 seconden mag zijn?
3.   Hoeveel neemt de responstijd toe als aankomstintensiteit van taken met 10% toeneemt?

Het gegeven seconde impliceert: s De relatie tussen en volgt uit (5.16) en is in dit geval:

Met het gegeven seconden, vinden we . Het antwoord op b) is dat het systeem 1.6 taken per seconde kan verwerken.

Indien toeneemt tot dan wordt de gemiddelde responstijd 1/0.24 = 4.17 seconde Ten opzichte van 2.5 seconden is dit een toename van 67%.