Bij het wachtsysteem komen klanten aan, voor één
loket,
volgens een Poisson-proces met intensiteit
. Dit betekent dat de
kans op een aankomst in
gelijk is aan
en dat de tijd tussen
twee aankomsten negatief exponentieel verdeeld is met gemiddelde
. De bedieningsduur is ook negatief exponentieel verdeeld; het
gemiddelde van deze verdeling
. Hier is
eveneens op te vatten
als een intensiteit: zolang het aantal klanten in het systeem >0
is, zal in een intervalletje van
met kans
een klant
vertrekken.
De gemiddelde bedieningsduur van een klant is de inverse van de verwerkingscapaciteit van het loket:
De bezettingsgraad van een wachtsysteem is de verhouding van de
aankomstintensiteit
en de verwerkingscapaciteit
. Voor een
wachtsysteem is de bezettingsgraad van het loket gelijk aan
het produkt van het aantal klanten (dat aankomt) per seconde en
het aantal seconden (bediening) per klant:
Figuur:
Toestandsdiagram van het aantal klanten in het wachtsysteem.
Bij het berekenen van de evenwichtsverdeling volgens (4.71)--(4.73)
zien we aan de hand van het toestandsdiagram in figuur 5.1 dat
de verhouding tussen twee opeenvolgende kansen, , gelijk is
aan
. Dit geeft:
De evenwichtsverdeling, die de kansen geeft om op een willekeurig moment i klanten in het systeem aan te treffen, wordt gegeven door:
Dit lijkt op de geometrische verdeling, met i.p.v. p, maar
hier begint de index bij 0 (vergelijk (2.1)). De verwachtingswaarde van
de verdeling (5.14) geeft het gemiddelde aantal klanten in het
systeem:
Met de formule van Little weten we dat het gemiddelde aantal
klanten gelijk is aan keer de gemiddelde verblijftijd in het
systeem. Daaruit volgt voor de gemiddelde verblijftijd van een
klant in het systeem:
De vraag die misschien wel rijst is: ``als groter is dan
,
is de verblijftijd dan negatief?'' Het antwoord is dat we bij de te
bestuderen wachtsystemen er stilzwijgend van uit gaan dat de
evenwichtsverdeling van het Markov-proces bestaat. Voor
wachtsystemen betekent dit dat
(dus bij één
loket dat
) moet
zijn.
Een bijzondere eigenschap van de wachtrij is dat de
verdeling van de verblijftijd negatief exponentieel is. Dit
betekent dat we expliciet de kans dat de verblijftijd kleiner is
dan, of gelijk aan t kunnen opschrijven. De kans wordt gegeven
door de negatief exponentiële verdelingsfunctie van
:
Percentielen van de verblijftijdverdeling kunnen direct uit de
verdelingsfunctie (5.18) berekend worden. We leerden in
sectie 2.5.7 (hoofdstuk 2) dat bijvoorbeeld het
99-ste percentiel,
, per definitie de eigenschap heeft dat de toevalsgrootheid
met 99% kans kleiner is dan, of gelijk aan,
. Het 99-ste
percentiel is daarom de oplossing van de volgende vergelijking:
hieruit volgt dat:
Figuur:
Percentielen van de verblijftijdverdeling van de
wachtrij. Verticaal is de verblijftijd uitgezet die met kans
1-r overschreden wordt.
In figuur 5.2 staat ook het 63-ste percentiel getekend. Deze
waarde is bijzonder omdat , waaruit direct is af te
leiden dat
Dus is de gemiddelde verblijftijd, en verder is
de mediaan
van de verblijftijdverdeling.
Het eenvoudigste model van een processor die taken van
verschillende lengte verwerkt is het model. Hierbij wordt
zowel voor de tijd die verstrijkt tussen twee aankomsten als voor
de bedieningsduur van een taak, de geheugenloze eigenschap
verondersteld. We stellen verder dat de gemiddelde bedieningsduur
0.5 seconde is.
Men wil voor zo'n processor bepalen hoeveel taken er verwerkt kunnen worden bij een gegeven eis voor de responstijd en hoe sterk de responstijd toeneemt bij een 10% hogere bezettingsgraad. In voorbeeld 5.3 vergelijken we dit met een systeem met twee langzame processoren.
Gevraagd:
Het gegeven seconde impliceert:
s
De relatie tussen
en
volgt uit (5.16) en is in dit geval:
Met het gegeven seconden, vinden we
. Het
antwoord op b) is dat het systeem 1.6 taken per seconde kan
verwerken.
Indien toeneemt tot
dan wordt de gemiddelde responstijd
1/0.24 = 4.17 seconde Ten opzichte van 2.5 seconden is dit een
toename van 67%.