Percentielen

Voor een stochastische variabele X, met verdelingsfunctie , is het percentiel de uitkomst die met p% kans niet overschreden wordt. Voor p kan elk getal van 0 tot 100 ingevuld worden.

In formulevorm is de definitie van (het p-de percentiel):

Dit wil bijvoorbeeld zeggen dat X met 99% kans kleiner is dan, of gelijk aan . Met 1% kans is X groter dan .

Formule (2.35) kan ook geschreven worden als:

Let wel, p is gegeven en moet gevonden worden. Het gaat dus om de inverse functie van .

Gegeven de verdelingsfunctie van de tijd tussen twee opeenvolgende aankomsten van voorbeeld 2.2:

Men wil weten:

1.   welke tussenaankomsttijd wordt slechts met 1% kans overschreden
2.   hoe groot is de kans dat de gemiddelde tussenaankomsttijd (= 2 tijdseenheden) niet overschreden wordt
3.   waar ligt het 50-ste percentiel van deze kansverdeling?

met een klein beetje algebra volgt hieruit:

Bij vraag b) hebben we in eerste instantie alleen het begrip verdelingsfunctie nodig. De gevraagde kans is:

Maar vergelijken we dit met formule (2.36) dan zien we dat bij deze kansverdeling het 63-ste percentiel bijna gelijk is aan het gemiddelde.

Bij symmetrische verdeling is juist het 50-ste percentiel (dit is de mediaan van de verdeling) gelijk aan het gemiddelde. Bij deze verdeling is dat niet het geval.

Het antwoord op c) vinden we op dezelfde wijze als bij a), en hier komt uit:

Het bepalen van percentielen komt neer op het bepalen van de inverse functie van de verdelingsfunctie. Bij de verdelingsfunctie van een discrete stochastische variabele stuit dit wiskundig gezien op problemen. In dat geval moeten we definiëren als de kleinste waarde waarvoor geldt: . In de grafiek van zo'n verdelingsfunctie (zie figuur 2.1) komt dat neer op het bepalen van de plaats van de ``knobbel'' die ter hoogte zit van of, als die ``knobbel'' er niet is, de eerste die boven p% is.