Verdelingsfunctie

Om iets meer te kunnen zeggen over een stochastische variabele moet de kans worden gespecificeerd dat bepaalde waarden aangenomen kunnen worden. Een manier om dit te specificeren is de verdelingsfunctie (van die stochastische variabele). Elke stochastische variabele (discreet of continu) heeft een verdelingsfunctie. Een verdelingsfunctie is gedefinieerd door:

Hierin betekent : de kans (Probability) op de gebeurtenis A. De waarde van in het punt x geeft de kans dat de toevalsgrootheid (=stochastische variabele) X kleiner dan of gelijk aan x is.

Terwille van de grafiek van dit voorbeeld beschouwen we een transmissiekanaal met een behoorlijke kans op bitfouten. De toevalsgrootheid X stelt het aantal fouten in n octet voor. Voor de kansverdeling van X geldt de volgende tabel:

Gevraagd: De grafiek van de verdelingsfunctie van de discrete stochastische variabele X.

 
Figuur: Verdelingsfunctie van aantal bitfouten in een octet bij voorbeeld 2.1. 

De gevraagde grafiek is getekend in figuur 2.1. Wat opvalt zijn de discontinuïteiten in de verdelingsfunctie. De waarde van de verdelingsfunctie in het punt 0.9 is . Diezelfde uitkomst krijgen we in het punt 0.99, in 0.999, enzovoort. Echter in het punt 1.0 geldt ineens . Vandaar de discontinuïteit en vandaar de knobbel getekend links aan het horizontale lijnstuk dar aangeeft dat die functie waarde hoort bij de onderliggende x waarde.

Het argument van een verdelingsfunctie loopt van tot en de waarde van een verdelingsfunctie gaat dan van 0 tot 1. We schrijven dit als:

In voorbeeld 2.1 worden die limietwaarden ook echt bereikt; nl.

Als het gaat om de verdelingsfunctie van een continue stochastische variabele dan is ook het verloop van de verdelingsfunctie continu.

Gegeven is een andere stochastische variabele X, die de tijd voorstelt die verloopt tussen twee opeenvolgende aankomsten van een berichtenstroom, met de verdelingsfunctie:

In figuur 2.2 is een grafiek getekend van deze verdelingsfunctie voor x > 0.

 
Figuur: Verdelingsfunctie van de tussenaankomsttijd van twee opeenvolgende berichten bij voorbeeld 2.2. 

Gevraagd:

1.   De kans dat de tussenaankomsttijd X kleiner is dan of gelijk is aan 1 tijdseenheid.
2.   De kans dat de tussenaankomsttijd X groter is dan 2 tijdseenheden.
3.   Bereikt de verdelingsfunctie van X zijn onder en bovengrens?

Het antwoord op a) volgt direct uit de definitie van verdelingsfunctie. Namelijk, .

Bij b) willen we de kans weten op het complement van de gebeurtenis . Deze kans is 1 minus de kans op . Dus, .

De onderlimiet 0 van de verdelingsfunctie wordt bereikt voor , omdat we hier met kans 1 te maken hebben met een positieve toevalsgrootheid. Maar voor deze stochastische variabele is geen bovengrens aan te geven die nooit overschreden wordt. De verdelingsfunctie bereikt dan ook nooit de waarde 1. Er geldt wel:

De verdelingsfunctie geeft de kans dat de stochastische variabele een gegeven waarde niet overschrijdt. De kans dat de stochastische variabele in een bepaald interval valt is ook eenvoudig uit te drukken in termen van de verdelingsfunctie . Het gaat om de kans . Deze is gelijk aan de kans op de gebeurtenis verminderd met de kans op de gebeurtenis :

Deze formule geldt zowel voor continue als discrete stochastische variabelen.