M/M/n wachtsysteem

Het Markov-model voor de wachtrij lijkt veel op het Markov-model voor de wachtrij; het verschil is dat nu bij k klanten in het systeem de kans op het vertrek van een klant in een tijdsintervalletje gelijk is aan (voor ) of gelijk is aan (voor k > n). Hierin is de bedieningsintensiteit van één loket. In het toestandsdiagram (figuur 5.3) zien we dan de ``sterfte''-intensiteit oplopen van tot , om daarna constant te blijven.

 
Figuur: Toestandsdiagram van aantal klanten in een wachtrij.  

De formules voor bijvoorbeeld gemiddelde verblijftijd zijn wel wat ingewikkelder en iets minder resultaten worden in expliciete vorm gegeven. Diegene die een misschien wel terechte weerzin voelt opkomen bij de formules in deze paragraaf realisere zich de eenvoud van het onderliggende Markov-model en van de numerieke procedure om de evenwichtsverdeling te berekenen. Uit de evenwichtsverdeling volgt direct het gemiddelde aantal klanten in het systeem en daaruit (met de formule van Little) de gemiddelde verblijftijd. De gemiddelde wachttijd is dan gemiddelde verblijftijd minus gemiddelde bedieningstijd.

Klanten worden bediend aan één van de n loketten en de gemiddelde bedieningsduur is daar:

De bezettingsgraad is gedefinieerd als de verhouding van de aankomstintensiteit en de maximale verwerkingscapaciteit:

Uit het toestandsdiagram kunnen we voor de ongenormeerde evenwichtsverdeling W de volgende gelijkheden aflezen:

De evenwichtsverdeling is dan:

Als we de staart van de evenwichtsverdeling sommeren, te beginnen met i=n (dit is de eerste toestand waarbij alle loketten bezet zijn) dan levert dit ons de kans dat alle loketten bezet zijn. Dit is ook de kans dat een klant bij aankomst geen vrij loket vindt. Het resultaat dat de gelijkheid van deze kansen stelt (en ook bewezen is) wordt PASTA genoemd. PASTA is het acroniem voor Poisson Arrivals See Time Averages. Voor de wachtrij is de kans dat een klant geen vrij loket vindt, , mede van belang omdat het een compacte formule voor het gemiddelde aantal klanten in het systeem geeft. De kans wordt ook genoteerd als of als . De formule voor heet de Erlang C-formule. In hoofdstuk 6 komt de Erlang B formule aan bod.

De formule voor het gemiddelde aantal klanten in het systeem kan in termen van de Erlang C formule gegeven worden:

Hieruit volgt de gemiddelde verblijftijd van een klant in het wachtsysteem:

 
Figuur: Gemiddelde verblijftijd van een klant in een wachtrij. De tijdseenheid is gelijk aan de gemiddelde bedieningsduur.  

Voor de wachtrij (inclusief n=1) is de formule voor de gemiddelde wachttijd, , niet opgeschreven. Deze kan direct verkregen worden door te verminderen met de gemiddelde bedieningsduur .

Stel dat we, in plaats van één processor met verwerkingstijd 0.5 seconde (zoals in voorbeeld 5.2), het systeem ook kunnen implementeren met twee goedkope processoren met een gemiddelde verwerkingstijd van 1 seconde per taak.

Om deze optie van twee langzame processoren te vergelijken met de optie van één snelle processor, stellen we weer dezelfde vragen.

Gevraagd:

1.   Hoe hangt de gemiddelde responstijd van het systeem (de gemiddelde verblijftijd van een klant) af van de aankomstintensiteit ?
2.   Hoeveel taken per seconde kunnen er verwerkt worden als de gemiddelde responstijd 2.5 seconden mag zijn?
3.   Hoeveel neemt de responstijd toe als aankomstintensiteit van taken met 10% toeneemt?

De uitwerking van formule (5.34) voor de gemiddelde verblijftijd (wachttijd + verwerkingstijd) vraagt eerst om uitwerking van (5.25) en (5.32). Voor de wachtrij levert dit:

Het gegeven seconde impliceert: sec. Voor de wachtrij is . De gemiddelde verblijftijd uitgedrukt in is dan:

Met het gegeven seconden, vinden we . Het antwoord op b) is dat het systeem 1.549 taken per seconde kan verwerken.

Indien toeneemt tot dan wordt de gemiddelde responstijd seconde. Ten opzichte van 2.5 seconden is dit een toename van 46%