Gemiddelde

De meest primaire karakterisering van een stochastische variabele en zijn kansverdeling is de verwachtingswaarde. Dit is een gewogen gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten. Synoniem met de term verwachtingswaarde wordt ook gebruikt: gemiddelde, eerste moment en de symbolen en .

Voor een discrete stochastische variabele X met mogelijke uitkomsten wordt de verwachtingswaarde gegeven door

Voor een continue stochastische variabele krijgen we een soortgelijke gewogen som van mogelijke waarden:

Als de continue stochastische variabele alleen waarden > 0 kan aannemen dan kan het een enkele keer handig zijn de verwachtingswaarde met de volgende, niet intuïtieve, formule uit te rekenen:

Gevraagd: Het gemiddelde voor de stochastische variabele van voorbeeld 2.1 en voor die van voorbeeld 2.2.

Het gemiddelde aantal bitfouten in een octet is een gewogen gemiddelde van de uitkomsten 0,1,2,...,8 waarbij de weegfactor 1 een uitkomst gelijk is aan de kans op die uitkomst. Overeenkomstig formule (2.15) met de kansen uit voorbeeld 2.1, vinden we voor het gemiddelde aantal bitfouten (met weglating van termen die nul zijn):

De tijd tussen twee aankomsten is een continue stochastisch variabele. De verdelingsfunctie van deze stochastische variabele werd gegeven in voorbeeld 2.2:

en de kansdichtheid in voorbeeld 2.4:

Berekening van het gemiddelde volgens formule (2.16) komt losjes gesproken neer op het vermenigvuldiging van de uitkomst x met de kans ; de sommatie van deze infinitesimale termen is niets anders dan de integraal in (2.16). Om deze integraal uit te rekenen zouden we gebruik moeten maken van partiële integratie. Deze techniek komen we verder in deze studie van prestatie-analyse van telecommunicatiesystemen niet meer tegen, vandaar dat we liever gebruik maken van formule (2.17). (Deze formule is uit (2.16) af te leiden door middel van partiële integratie).

Substitutie van de kansdichtheid in (2.17) levert:

Dus de gemiddelde tijd tussen twee aankomsten in voorbeeld 2.2 is 2 tijdseenheden.