Kansdichtheid

Alleen voor een continue stochastische variabele is een kansdichtheid gedefinieerd en wel als de afgeleide van de verdelingsfunctie. Het heeft de interpretatie van kans per eenheid van tijd (in het voorbeeld dat we bekeken), of per eenheid van lengte, al naar gelang de eenheid waarin de stochastische variabele is uitgedrukt. Voor een verdelingsfunctie wordt de bijbehorende kansdichtheid met een kleine letter, , aangegeven.

Per definitie is dus:

Omdat we weten dat , kan de verdelingsfunctie ook weer terug gekregen worden uit de kansdichtheid:

De definitie van de kansdichtheid kan ook geschreven worden als:

Hieruit volgt dat de kans dat de stochastische variabele een waarde aanneemt in het infinitesimale interval gelijk is aan:

De tijd die nodig is om een bericht van de magnetische schijf van een electronic mail systeem te halen (opvraagtijd), wil men modelleren als een stochastische variabele. De volgende gegevens zijn gemeten:

alle tussenliggende tijden zijn even waarschijnlijk

Gevraagd: wat is de verdelingsfunctie en de kansdichtheid van deze stochastische variabele? (Van daaruit kunnen weer berekend worden: het gemiddelde, de variantie etc.).

Het gegeven dat alle tijden even waarschijnlijk zijn laat zich vertalen in een continue stochastische variabele met een kansdichtheid die konstant is op het interval (De tijdschaal van ms wordt impliciet verondersteld).

De grafiek van de kansdichtheid is getekend in figuur 2.3

 
Figuur: Kansdichtheid van opvraagtijd in voorbeeld 2.3. 

De hoogte van de rechthoek in bovenstaande grafiek volgt uit het gegeven dat de oppervlakte onder de curve gelijk aan 1 moet zijn. Dit volgt weer uit (2.1) en (2.10). Uit (2.10) volgt ook dat de waarde van de verdelingsfunctie in het punt x gelijk is aan de oppervlakte van de rechthoek van figuur 2.4 links van x. De grafiek van de verdelingsfunctie is gegeven in figuur 2.4.

 
Figuur: Verdelingsfunctie van opvraagtijd in voorbeeld 2.3. 

In voorbeeld 2.2 werd de verdelingsfunctie van tussenaankomsttijd van twee opeenvolgende berichten gegeven. Dit was een continue stochastische variabele en heeft dus ook een kansdichtheid.

Gevraagd: Hoe ziet de kansdichtheid van deze stochastische variabele eruit?

Differentiëren van zoals gedefinieerd in voorbeeld 2.2 levert op:

De kansdichtheid voor x > 0 is getekend in figuur 2.5.

 
Figuur: Kansdichtheid van de tussenaankomsttijd van twee opeenvolgende berichten in voorbeeld 2.4.