De Engset-formule

Stel, we hebben een bundel van n lijnen en een klein aantal klanten. Elke klant kan één van de n lijnen beleggen. Indien één van de klanten een lijn belegd heeft, dan fungeert deze niet meer als een bron voor een nieuwe oproep, daarom neemt de aankomstintensiteit af als het aantal belegde lijnen toeneemt. In die zin onderscheidt het Engset-model zich van het Erlang-model. Bij Erlang is het aankomstproces een Poisson-proces met een constante aankomstintensiteit. Bij Engset is de aankomstintensiteit evenredig met het aantal vrije klanten.

 
Figuur: Toestandsdiagram van het verlies systeem (Engset-model).  

Het Engset-model wordt eenvoudig als we een, inmiddels vertrouwd, toestandsdiagram tekenen voor het onderliggende Markov-proces dat het aantal bezette lijnen aangeeft. Zie figuur 6.4. Voor dit geboorte-sterfte proces is de kans dat in een tijdsinterval een lijn vrij komt, gegeven i bezette lijnen, , net als voor het Erlang-model. Hierin is weer de inverse van de gemiddelde houdtijd: . De kans dat in een tijdsinterval een lijn bezet wordt, gegeven j vrije klanten, is . Hier is de aankomstintensiteit per vrije klant, dat wil zeggen dat de tijd tot de eerstvolgende aankomst negatief exponentieel verdeeld verondersteld wordt met gemiddelde . Indien het totaal aantal klanten gelijk aan s is en er zijn i lijnen bezet dan is het aantal vrije klanten j = s-i.

Het Engset-model past in de Kendall-classificatie en wordt genoteerd als het verliessysteem. De eerste M slaat op de negatief exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden, de tweede M op de negatief exponentieel verdeelde houdtijd (bedieningsduur). De eerste n slaat op n lijnen (loketten) en de tweede n op het totaal aantal plaatsen in het systeem. Het is een puur verliessysteem omdat het aantal plaatsen in het systeem gelijk is aan het aantal lijnen. De laatste parameter slaat op het eindige totaal aantal klanten. De tussenaankomsttijden zijn negatief exponentieel verdeeld, maar de parameter van de negatief exponentiele verdeling verandert als de toestand van het proces verandert. Daarom noemen we het aankomstproces niet een Poisson proces.

Uit het toestandsdiagram kunnen de ongenormeerde evenwichtskansen afgelezen worden:

De normeringsconstante is:

De evenwichtsverdeling wordt weer gegeven door:

Om de blokkeringskans te berekenen zijn we in dit geval niet klaar met . Vanwege het eindige aantal klanten is het aankomst proces geen Poisson-proces en we kunnen dus niet gebruik maken van de PASTA eigenschap. De blokkeringskans wordt verkregen door te kijken naar de verhouding van de kans op een blokkering in een willekeurig (maar klein) interval en de kans op een aankomst in zo'n interval.

De kans op een aankomst in is:

Het rechterlid werd verkregen door de kansen in te vullen en gebruik te maken van de volgende, door uitschrijven te verifiëren, gelijkheid:

Een blokkering ontstaat alleen wanneer n lijnen bezet zijn en n van de s-n vrije klanten een aankomst genereert. De kans dat dit gebeurt in een interval is:

De Engset-blokkeringskans, , wordt dan gegeven door het quotiënt van (6.25) en (6.23):

Deze formule geldt dus voor een eindige populatie van s klanten die elk gedurende gemiddeld vrij zijn en dan gedurende gemiddeld een lijn bezetten (als er tenminste geen blokkering optreedt; in dat geval begint weer een nieuwe vrije periode voor die klant).

 
Figuur: Blokkeringskans volgens het Engset-model. Ter vergelijking met figuur 6.2 staat langs de x-as de aankomstintensiteit wanneer alle s = 20 klanten vrij zijn.  

Ook voor het Engset-model is recursieve berekening van de blokkeringskans mogelijk. We definiëren de als de inverse van de blokkeringskans voor s klanten, met oproepintensiteit per vrije klant, op i lijnen. Ter initialisatie gebruiken we weer dat bij 0 lijnen de blokkeringskans 1 is:

Zolang i < s, is de recursie voor :

Bernard vraagt zich af of het Engset-model voor de PABX met 5 buitenlijnen en 25 abonnees niet tot een aanzienlijk lagere blokkeringskans leidt dan de 6.97% die in voorbeeld 6.1 berekend was. We definiëren een abonnee die niet een buitenlijn belegd heeft als een vrije klant, en gaan uit van een oproep instensiteit van (per gemiddelde houdtijd) per vrije klant.

Gevraagd: Hoe groot is de blokkeringskans volgens het Engset-model?

De oproepintensiteit is uitgedrukt per gemiddelde houdtijd. Dat wil zeggen dat de gemiddelde houdtijd van een lijn 1 tijdseenheid is en dat de ``bedieningsintensiteit'' van een lijn is. We passen nu rechtstreeks de recursie (6.27)--(6.28) toe:

Volgens het Engset-model is dan de blokkeringskans: