De Erlang-formule

Voor het dimensioneren van een telefonie bundel is de Erlang-formule het basisgereedschap. De formule geldt voor elk verliessysteem met een beperkt aantal loketten (lijnen). De enige veronderstelling die gemaakt moet worden is dat het aankomstproces een Poisson-proces is; de bedieningsduur verdeling (houdtijd van een lijn) kan willekeurig verdeeld zijn.

Er moet wel worden opgemerkt dat de huidige tendens van integratie van spraak en data, waarbij we virtuele verbindingen hebben, afbreuk doet aan de algemene toepasbaarheid van de Erlang-formule als basisgereedschap voor het dimensioneren van een telefonie bundel. Bij het mengen van virtuele verbindingen met verschillende karakteristieken wordt het Erlang-model complexer, omdat onder andere ook rekening gehouden moet worden met het al dan niet actief zijn van een virtuele verbinding.

Echter het Erlang-model is van toepassing op elk systeem met een Poisson-aankomstenproces en een beperkt aantal loketten, waarbij voor ``loketten'' van alles ingevuld kan worden. Het feit dat de formule niet afhangt van de kansverdeling van de bedieningsduur heeft in grote mate bijgedragen aan de toepasbaarheid en het belang van de formule.

Zoals gezegd geldt de Erlang-formule voor een willekeurig systeem. De formule geeft de kans dat op een willekeurig moment (en vanwege PASTA voor een willekeurige aankomst) alle n loketten bezet zijn. De laatste n in slaat op het aantal plaatsen in het systeem: dit aantal is gelijk aan het aantal loketten. Klanten die geen vrij loket vinden (of in telefonie termen: oproepen die geen vrije lijn vinden) gaan verloren. Daarom heet dit een verliessysteem. De vijfde parameter is niet vermeld; dit betekent dat we te maken hebben met een oneindige populatie, wat weer inhoudt dat het aankomstproces een Poisson-proces is.

Voor de berekening van de blokkeringskans (de kans dat alle loketten bezet zijn) gaan we uit van het model. Dit model kan geanalyseerd worden met de inmiddels vertrouwde methode van het berekenen van de evenwichtsverdeling van een continue-tijd geboorte-sterfte proces. Het is geen beperking dat we alleen kijken naar het systeem, omdat de evenwichtsverdeling van het verliessysteem niet afhankelijk is van de bedieningsduurverdeling. Dit is een opmerkelijk resultaat dat alleen geldt voor een puur verliessyteem. Dit resultaat kunnen we hier niet bewijzen.

Het toestandsdiagram van de continue-tijd Markov-keten is getekend in figuur 6.1. Hier zien we een constante aankomstintensiteit van aankomsten per tijdseenheid (gemiddeld) en een verwerkingsintensiteit die evenredig is met het aantal bezette lijnen. Een klant heeft een gemiddelde bedieningsduur van tijdseenheden. In telefonie termen wordt gezegd dat de gemiddelde houdtijd van een oproep tijdseenheden bedraagt. Het produkt van het aantal aankomsten per tijdseenheid en de gemiddelde houdtijd is de hoeveelheid aangeboden verkeer:

Het verkeer wordt uitgedrukt in een dimensieloze eenheid die naar de wiskundige Erlang is genoemd. We zeggen dat het aangeboden verkeer A Erlang bedraagt.

 
Figuur: Toestandsdiagram van het verlies systeem (Erlang-model).  

Met het bekende recept voor het berekenen van de evenwichts verdeling, lezen we voor de ongenormeerde kansen uit het toestandsdiagram af dat:

De normeringsconstante is de som van de ongenormeerde kansen:

Waar het ons om gaat, is , de kans dat alle lijnen bezet zijn. Vanwege de eigenschap: Poisson Arrivals See Time Averages (PASTA), is dit de blokkeringskans voor een oproep. Voor is een hele reeks van alternatieve notaties in gebruik:

De waarde van wordt verkregen door te delen door . Dit geeft de beroemde Erlang B-formule die, uitgeschreven, de volgende gedaante heeft:

 
Figuur: Blokkeringskans volgens het Erlang-model als functie van het aangeboden verkeer.  

Voor het uitrekenen van op een programmeerbare rekenmachine is er een handiger methode dan rechtstreeks via formule (6.8). Deze methode maakt gebruik van een eenvoudige, recursieve relatie voor . Definieer:

De recursie wordt begonnen door te constateren dat bij 0 lijnen de blokkeringskans gelijk aan 1 is, dus ook:

Bij een bedrijf met een PABX (Private Automatic Branch Exchange = Berijfstelefooncentrale) met vijf buitenlijnen blijkt dat in het drukke uur de blokkeringskans hoger is dan de gewenste waarde van 1%. Het aangeboden verkeer op de buitenlijnen in het drukke uur bedraagt 2.5 Erlang.

Gevraagd: Hoe groot is de blokkeringskans en hoeveel lijnen moeten erbij komen opdat de blokkeringskans kleiner is dan 1%?

De vraag is eenvoudig te beantwoorden met de recursieve relatie (6.11). Uitgaande van Erlang en berekenen we achtereenvolgens

Hieruit volgt direct de blokkeringskans van 2.5 Erlang op 5 lijnen:

Om te komen tot een blokkeringskans van minder dan 1% moeten we doorgaan met de recursie totdat de inverse groter is dan 100:

Dus 7 lijnen is voldoende en de blokkeringskans is dan:

Arie stelt voor om in plaats van twee (dure) buitenlijnen erbij te nemen, twee wachtplaatsen toe te voegen aan de PABX. Oproepen vanuit de PABX naar een buitenlijn, die alle buitenlijnen bezet vinden blijven dan wachten tot een buitenlijn vrij komt. Oproepen van buiten kunnen niet gebruik maken van de wachtplaatsen. We gaan, net als in voorbeeld 6.1, uit van 2.5 Erlang aangeboden verkeer, waarvan de helft gegenereerd wordt door oproepen vanuit de PABX (de andere helft door oproepen van buiten).

Gevraagd: Hoe groot is de blokkeringskans bij 2.5 Erlang aangeboden verkeer op 5 lijnen met 2 wachtplaatsen? Geef de blokkeringskans voor oproepen vanuit de PABX, die gebruik kunnen maken van de wachtplaatsen, en voor oproepen van buiten?

Het model lijkt op op het model, maar verschilt doordat alleen oproepen vanuit de PABX gebruik kunnen maken van de wachtplaatsen. Het toestands diagram van het aangepaste model is weergegeven in figuur 6.3:

 
Figuur: Het toestandsdiagram bij voorbeeld 6.2.  

De toestand van het systeem is het aantal klanten dat een lijn belegd heeft plus eventuele wachtende klanten. De intensiteit waarmee lijnen vrij komen is gelijk aan het aantal bezette lijnen, dus nooit groter dan 5 per gemiddelde houdtijd (we kiezen onze tijdseenheid gelijk aan de gemiddelde houdtijd). Als het systeem in toestand 5 of 6 is, dan is de overgangsintensiteit naar een hogere toestand 1.25 per gemiddelde houdtijd, omdat die overgangen alleen plaatsvinden indien een oproep vanuit de PABX een wachtplaats bezet.

We berekenen eerst de evenwichts verdeling volgens (4.28)--(4.31)

Voor oproepen vanuit de PABX is er alleen blokkering als het systeem in toestand 7 is. De kans hierop is (slechts):

Voor oproepen van buiten is er blokkering als het systeem in toestand 5, 6 of 7 is. De kans hierop is: