Poisson-proces

Het Poisson-proces is niet een kansverdeling maar een toevalsproces waarbij nog als extra dimensie een tijdparameter hoort. Het kan gezien worden als een proces waarbij met stochastische tussenpozen een gebeurtenis (bijvoorbeeld een aankomst) plaatsvindt. Een reden om het Poisson-proces toch hier te bespreken is dat bij dit proces die stochastische tussenpozen negatief exponentieel verdeeld zijn.

 
Figuur: Het geaccumuleerde aantal aankomsten van een Poisson-proces met , als functie van de tijd. Verkregen uit een simulatie met negatief exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden. 

Figuur 3.8 laat, als functie van de tijdparameter, het geaccumuleerde aantal gebeurtenissen (aankomsten) zien voor een willekeurige realisatie van een Poisson-proces. De driehoekjes onderaan geven de tijdstippen aan waarop de aankomsten plaatsvonden.

Er zijn drie gelijkwaardige karakteriseringen te geven voor een Poisson-proces met intensiteit :

1.   De tijdsintervallen tussen de aankomsten zijn onafhankelijke stochastische variabelen die negatief exponentieel verdeeld zijn met gemiddelde .
2.   Voor een willekeurig tijdsinterval van lengte geldt voor de limiet dat:

   

   en deze gebeurtenissen zijn onafhankelijk van aankomsten in een ander interval.

3.   Voor elke positieve t, heeft het aantal aankomsten in het tijdsinterval een Poisson-verdeling met gemiddelde .

We zouden bewering a) kunnen kiezen als definitie van het Poisson-proces. Bij de voorbeelden van dit hoofdstuk zagen we al dat een aankomst proces gesimuleerd kan worden door bijvoorbeeld elke 200 ms te loten of er een aankomst is. De bewering bij b) is dat hoe kleiner de lengte van zo'n tijdsleuf is, des te meer gaat die simulatie op een Poisson-proces lijken. Dan moet wel de kans op een aankomst in zo'n tijdsleuf proportioneel gehouden worden met de lengte van de tijdsleuf: . Bij een echt Poisson-proces is er in elk interval een zekere kans op twee of meer aankomsten, echter die kans is evenredig met . Voor voldoende klein is dan de gebeurtenis van twee of meer aankomsten te verwaarlozen.

In voorbeeld 3.1 presenteerden we een methode om het Poisson-proces bij benadering te simuleren door elke tijdsleuf te loten of er een aankomst plaatsvindt (er zijn efficiëntere methoden om dit te simuleren). In voorbeeld 3.2 zagen we dat het aantal aankomsten in een interval binomiaal verdeeld is. Als nu de lengte van elke tijdsleuf korter gemaakt wordt, het aantal tijdsleuven in het interval verhoudingsgewijs vergroot wordt en de kans op een aankomst evenredig kleiner wordt, dan gaat die binomiale verdeling steeds meer op een Poisson-verdeling lijken. Met deze constructie komen we bij bewering c) uit.