Repareerbare systemen

Wanneer we een systeem hebben dat uit een aantal units bestaat die elk een negatief exponentieel verdeelde levensduur hebben en ook een negatief exponentieel verdeelde reparatietijd, dan kan dat systeem beschreven worden als een Markov-proces. Hierbij is dan impliciet aangenomen dat het falen van één unit statistisch onafhankelijk is van het falen van de andere units. Vooral deze laatste aanname maakt dat de toepasbaarheid van het model enigszins beperkt is. Maar het feit dat met een eenvoudig geboorte-sterfte proces snel inzicht verkregen kan worden in het effect van verschillende vormen van redundantie maakt toch een verdere bestudering de moeite waard.

We beschouwen een systeem met n units waarvan er slechts één hoeft te functioneren. De overige n-1 units zijn standby units, men zegt dan dat de redundantie n-1 is. We krijgen een geboorte-sterfte proces door het aantal defecte units, k, te kiezen als de toestand van het systeem. Merk op dat de historische naamgeving geboorte-sterfte proces weinig gepast is, omdat in die termen het falen van een unit correspondeert met een ``geboorte'' en het voltooien van een reparatie met een ``sterfte'' (misschien zouden we het moeten hebben over sterfte-geboorte processen). Het toestandsdiagram voor het aantal defecte units staat getekend in figuur 7.1.

 
Figuur: Toestandsdiagram voor het aantal defecte units van een repareerbaar systeem.  

De levensduur van een unit is negatief exponentieel verdeeld met verwachtingswaarde . De levensduur gaat in wanneer de unit is ingeschakeld. Voor één ingeschakelde unit is de failure rate gelijk aan . Verder is een door de architectuur van het systeem bepaalde grootheid die aangeeft hoeveel units zijn ingeschakeld, gegeven dat er k units defect zijn. De volgende terminologie wordt gebruikt:

De kans op een overgang van toestand k naar toestand k+1 in een interval is De overgangsintensiteit naar rechts vanuit een toestand k is:

De reparatieduur van een unit werd ook negatief exponentieel verondersteld. De gemiddelde reparatie duur is . De overgangsintensiteit naar links hangt af van de reparatie capaciteit die beschikbaar is voor het systeem. Twee uitersten zijn:

Met bovenstaande gegevens zijn we in staat om de evenwichtsverdeling van het aantal defecte units te berekenen. Omdat de redundantie van het hier bestudeerde systeem n-1 is, is het systeem nog operationeel zolang het aantal defecte units kleiner is dan n. Laat de vector V de evenwichtsverdeling weergeven, dan halen we hieruit voor de beschikbaarheid:

De twee andere prestatiematen die we willen berekenen zijn de MTTF en de MTBF. Voor de MTTF gaat het om de eerste bedrijfsduur van het systeem; in dat geval is de begintoestand van het systeem k=0 defecte units. Bij de MTBF is de begintoestand van het systeem k=n-1, omdat de j-de bedrijfsduur van het systeem ingaat nadat alle units defect waren op het moment dat de eerst gerepareerde unit ``uit de reparatiewerkplaats komt'' en in bedrijf gesteld wordt.

Vanuit een willekeurige begintoestand willen we bepalen hoe lang het duurt totdat een failure optreedt, d.w.z. hoe lang het duurt totdat alle n units defect zijn. Daartoe definiëren we

In het randgeval dat de begintoestand k=n is, verstrijkt er helemaal geen tijd totdat toestand n bereikt wordt, omdat het systeem al in toestand n is. Daarom kunnen we direct opschrijven:

Als de begintoestand k=n-1 is dan zijn er twee overgangen vanuit die toestand mogelijk: met intensiteit n-1 naar toestand n en met intensiteit n-1 naar toestand n-2. Dit betekent dat in een interval t de toestand k=n-1 met kans verlaten wordt. We weten ook dat de verblijftijd in een toestand negatief exponentieel verdeeld is. Hieruit volgt dat de gemiddelde verblijftijd in de toestand k=n-1 gelijk is aan:

Na bovenstaande tijd vindt er één van de twee al eerder genoemde overgangen plaats. In de tabel hieronder (7.10) staan die overgangen genoemd, met daarnaast de kans dat juist die overgang optreedt, gegeven dat de toestand k=n-1 verlaten wordt, en daarnaast weer de tijd die het dán nog duurt totdat toestand k=n bereikt wordt:

We krijgen nu de waarde voor door bij de waarde van (7.9) een gewogen som van de waarden uit de rechterkolom van (7.10) op te tellen. Dit geeft:

Deze formule kan herschreven worden in de vorm:

Door uit te gaan van een willekeurige begintoestand k dezelfde redenering te volgen, krijgen we de volgende reeks van relaties:

In het geval k=0 dient de term gelijk aan nul gesteld te worden. De formules (7.8) en (7.13) vormen samen een stelsel van n+1 lineaire vergelijkingen met n+1 onbekenden, waaruit opgelost kunnen worden. We kunnen ook dit stelsel in matrix vector vorm schrijven en dan rechtstreeks met daarvoor bestaande procedures oplossen. Daarmee hebben we dan ook de gezochte resultaten:

want dit is de gemiddelde tijd om vanuit begintoestand k=0 de toestand k=n te bereiken en

want dit is de gemiddelde tijd om vanuit begintoestand k=n-1 de toestand k=n te bereiken.

Bij een telecommunicatie systeem in de bush-bush moet een stroomvoorzieningssysteem geleverd worden dat uit betrouwbaarheidsoverwegingen dubbel uitgevoerd is. De gemiddelde reparatietijd voor één unit is één tijdseenheid. De gemiddelde bedrijfsduur van één unit is 100 tijdseenheden.

In het oorspronkelijke plan waren er faciliteiten om eventueel beide units tegelijk te kunnen repareren. Verder wilde men de tweede unit hot standby laten draaien om een korte spanningsonderbreking bij een enkelvoudig defect te voorkomen.

In het kader van de bezuinigingen moet ofwel de faciliteit van dubbele reparatie worden teruggebracht tot een enkelvoudige faciliteit, ofwel de tweede unit wordt cold standby. Om een enigszins gemotiveerde beslissing te kunnen nemen moet er eerst wat gerekend worden.

Gevraagd: Wat is, in geval van het oorspronkelijke plan en in geval van de verschillende bezuinigingsopties, de MTTF, de MTBF en de beschikbaarheid van het stroomvoorzieningssysteem?

In alle gevallen kunnen we het volgende toestandsdiagram tekenen voor het aantal defecte units.

 
Figuur: Toestandsdiagram bij voorbeeld 7.1.  

Door de keuze van de tijdseenheid (gelijk aan de gemiddelde reparatieduur) is . We korten af als . De gemiddelde bedrijfsduur van één unit van 100 tijdseenheden houdt in dat . De verschillende opties kunnen gekozen worden door voor a en de volgende waarden in te vullen:

De berekening, met parameters a en , van de MTTF en MTBF gaat met de recursieformule (7.14). Hier is n=2. Dit geeft twee lineaire vergelijkingen (één voor k=0 en één voor k=1):

Merk op dat hier al te zien is dat de MTTF en de MTBF niet afhangt van of er al dan niet een dubbele reparatie faciliteit is, ofwel van . Deze parameter is wel van invloed op de beschikbaarheid van het systeem. Bovenstaand stelsel van lineaire vergelijkingen kan in matrix notatie geschreven worden als:

De oplossing met matrix inversie is:

Matrix-vector vermenigvuldiging geeft dan:

De beschikbaarheid van het systeem volgt direct uit de evenwichtsverdeling. Voor de ongenormeerde verdeling (zie (4.71)--(4.73)) vinden we:

De beschikbaarheid is de kans op 0 of 1 defecte unit:

Het invullen van a en voor de verschillende opties geeft: