Matrixrekening

Vectoren en matrices zullen we aangeven met hoofdletters en de elementen waaruit zij zijn opgebouwd worden aangegeven met de corresponderende kleine letter.

Vectoren worden gebruikt om de kansverdeling van een Markov-keten over zijn toestandsruimte weer te geven. De overgangskansen staan in een matrix: in rij i kolom j staat de kans dat het proces van toestand i naar toestand j gaat. Om de gewenste resultaten (de kansverdeling op het volgende tijdstip) te krijgen, moeten we vector-matrixvermenigvuldiging doen, en niet matrix-vector vermenigvuldiging. Dit betekent dat hier de vectoren liggende (één rij, n kolommen) vectoren zijn.

Nota bene: de nummering van de toestandsruimte van het Markov-proces loopt hier van 1 tot en met n. Voor de uitleg van matrixrekening is dit verreweg het meest voor de hand liggend. Echter als de toestand van het Markov-proces bijvoorbeeld het aantal wachtende taken voorstelt, dan is het natuurlijker om de nummering van 0 tot n te laten lopen. In zo'n geval moet de nummering (de indices van de vector- en matrixelementen) even aangepast worden. Bij wachtsystemen met onbeperkte wachtruimte loopt de nummering van 0 tot (in dat geval passen we geen matrixrekening toe).

Laat een (liggende) n-dimensionale vector zijn:

en P een matrix:

Stel, we willen uitgaande van en P het vector-matrixprodukt berekenen:

Dan is een gewogen som van de rijen van P, de gewichtsfactoren zijn de elementen van . Het j-de element van hangt alleen af van elementen uit de j-de kolom van P:

Gegeven de vector en matrix P:

Gevraagd: Het vector matrixproduct .

We hadden al gelezen dat de vector-matrixvermenigvuldiging op te vatten is als een gewogen som van de rijen van P. Door de speciale keuze van (alle elementen, behalve de eerste, gelijk aan 0) krijgt de eerste rij van P al het gewicht. Omdat de gewichtsfactor 1 is, is het effect dat gewoon de eerste rij van P geselecteerd wordt:

Matrix-matrixvermenigvuldiging kan gezien worden als n keer vector-matrixvermenigvuldiging. Stel, we willen, uitgaande van de matrices P en Q, hun produkt, de matrix R, berekenen:

dan wordt de i-de rij van R bepaald door de i-de rij van P:

Opmerking: in het algemeen is P Q niet gelijk aan Q P.

Gegeven de matrix P van voorbeeld 4.1.

Gevraagd: Wat is ?

Het kwadraat van een (vierkante) matrix is niet anders dan het produkt van die matrix met zichzelf. De elementen van kunnen recht-door-zee berekend worden met (4.9). Iets vlotter gaat het door in te zien dat elke rij van een gewogen som is (gewichts factoren 0.8 en 0.2) van twee rijen van P. Het resultaat is:

Matrix-matrixvermenigvuldiging van niet-vierkante matrices is ook mogelijk. De enige restrictie is dat het aantal kolommen van de linker matrix gelijk is aan het aantal rijen van de rechter matrix. In het algemene geval wordt een matrix met een matrix vermenigvuldigd; het product is een matrix. Een bijzonder geval is q = 1. Dan is de rechter matrix een gewone (staande) vector en hebben we te maken met gewone matrix-vectorvermenigvuldiging.