Berekening van standaard deviatie met calculator

Op de meeste wetenschappelijke calculators zit een toets om de standaard deviatie van een verzameling van getallen te bepalen. Voor dezelfde verzameling getallen geven twee verschillende calculators soms twee verschillende berekende waarden van de standaard deviatie op!

De reden is dat een verzameling getallen op twee manieren kan worden geïnterpreteerd:

1.   De verzameling definieert een kansverdeling waarbij met kans optreedt (in het geval dat er k waarden van de verzameling aan elkaar gelijk zijn, dan is dat zo op te vatten dat die waarde met kans optreedt).
2.   De verzameling vormt een reeks monsters (samples) van een kansverdeling waarvan het gemiddelde en de standaard deviatie nog moet worden geschat.

Voor calculators die volgens methode 1) werken, correspondeert de formule voor 2 (= variantie) met het bepalen van het verschil van het tweede moment en het kwadraat van het eerste moment. Dit geeft de formule

Voor calculators die volgens methode 2) werken wordt formule (2.32) nog met een factor vermenigvuldigd. De reden is dat wanneer gemiddelde en standaard deviatie moeten worden geschat, het geschatte gemiddelde zo goed mogelijk tussen de monsterwaarden in ligt, wat weer leidt tot een onderschatting van de variantie als de factor er niet zou zijn. Dit kan verduidelijkt worden in het extreme geval dat n slechts gelijk is aan 2 monsterwaarden. In dat geval ligt het geschatte gemiddelde precies tussen de twee monsterwaarden in. Om dan tot een unbiased schatter te komen van de variantie, zo hebben statistici bewezen, wordt bovenstaande formule nog met een factor 2/(2-1) vermenigvuldigd. In het algemene geval geeft dit de formule

De tijd nodig voor het aanschakelen van een toon-ontvanger in een PABX wordt uitgebreid gemeten. Er blijkt dat deze tijd n op de drie keer 20 ms bedraagt en twee op de drie keer 15 ms Voor wachttijd berekeningen moet van deze bedieningsduur (aanschakeltijd) de variantie uitgerekend worden.

Gevraagd: Welke methode, a) of b), geeft direct de gewenste variantie?

De aanschakeltijd is op te vatten als een toevals-grootheid waarvan de kansverdeling bekend is. Namelijk met kans 2/3 is de uitkomst 15 en met kans 1/3 is de uitkomst 20. Daarom moet methode 1) toegepast worden. Mijn calculator geeft onder de toets , na kwadrateren, de uitkomst 5.556. De ingevoerde data-waarden waren .

Ter verificatie: als bij deze vraag ten onrechte methode 2) wordt toegepast (op mijn calculator met de toets ) dan is de uitkomst 8.333.