Normale Verdeling (Gaussische Verdeling)

Wanneer we een aantal onafhankelijke stochastische variabelen sommeren, dan gaat de kansverdeling van de som steeds meer lijken op een normale verdeling. Dit is de basis van het belang van de normale verdeling; immers vaak zal een waarneming die we doen bestaan uit de som van een groot aantal toevalsgrootheden. Voordat we de formule geven van de kansdichtheid van een normaal verdeelde continue stochastische variabele, nog eerst iets over het sommeren van stochastische variabelen en over de centrale limiet stelling.

Stel we hebben twee stochastische variabelen en . Dan is uiteraard ook een stochastische variabele waarvan het gemiddelde gelijk is aan de som van de gemiddelden (van resp. ) en de variantie gelijk aan de som van de varianties. Dus:

De centrale limietstelling luidt als volgt: Stel , vormen een reeks van onafhankelijke, gelijk-verdeelde stochastische variabelen. Definieer . Dan nadert de verdeling van naar een normale verdeling als .

Direct gekoppeld met de centrale limietstelling is het feit dat de Poisson-verdeling steeds meer op een normale verdeling gaat lijken als de parameter van de Poisson-verdeling groter wordt. Het vergelijken van de figuren 3.4 en 3.5 suggereert dit al. Merk wel op dat de Poisson-verdeling een discrete verdeling is en de normale verdeling een continue verdeling. Dit ``steeds meer lijken op'' moet gepreciseerd worden in termen van de verdelingsfuncties. De Poisson-verdeling is op zijn beurt weer een limietgeval van de binomiale verdeling. Samenvattend:

binomiaal Poisson normaal

De eerste benadering kan men redelijkerwijs gebruiken (absolute fout in de orde van één procent of minder) als voor de binomiale verdeling n>10 en is. Voor de tweede benadering moet gelden .

De kansdichtheid van een normaal verdeelde stochastische variabele met gemiddelde en variantie is:

 
Figuur: Kansdichtheid normale verdeling met en . 

De verdelingsfunctie van een normaal verdeelde stochastische variabele is niet in elementaire functies uit te drukken. Vandaar dat men in dat geval met tabellen of benaderende algorithmes moet werken. We kunnen toe met één tabel, omdat een willekeurig normaal verdeelde stochastische variabele te herleiden is tot een standaard normaal verdeelde stochastische variabele. Bij de standaard normale verdeling is het gemiddelde 0 en de variantie 1. Voor de standaard normale verdeling is de kansdichtheid:

De bijbehorende verdelingsfuctie wordt de error function, , genoemd:

Stel, we hebben een normaal verdeelde stochastische variabele X, met gemiddelde en variantie (dit geven we aan met ), en we willen weten hoe groot is. Om deze vraag te herleiden naar de standaard normale verdeling definiëren we de stochastische variabele Y, die direct gekoppeld is aan X, volgens

De translatie over en het normeren met heeft tot gevolg dat Y standaard normaal verdeeld is (). De verdelingsfunctie van X kan nu uitgedrukt worden in , n.l.:

In de volgende tabel (die in twee stukken gedeeld is) worden waarden van de error function function gegeven. Door de symmetrie van de kansdichtheid van de standaard normale verdeling ten opzichte van x=0, kan makkelijk de ene tabel uit de andere afgeleid worden. Er geldt namelijk

 
Tabel: , ,

 
Tabel: , ,

Bij een nieuwe PABX worden de ISDN toestellen en terminals gevoed vanuit de peripheral circuit boards. De voeding levert alleen vermogen aan een toestel als dat actief is. Er is opgegeven dat in het drukke uur, een toestel met kans 0.1 actief is. Het aantal toestellen aan de PABX is 200. Om te bepalen of het vermogen van de voeding voldoende is, wil men weten hoe groot de kans is dat, in het drukke uur, meer dan 30 toestellen tegelijkertijd actief zijn.

Ter vereenvoudiging van het probleem, veronderstellen we dat de activiteitsperioden van de verschillende toestellen onafhankelijk van elkaar zijn. Het aantal actieve toestellen op een willekeurig moment van het drukke uur, X, is dan een binomiaal verdeelde stochastische variabele (200 ``experimenten''; ``succes'' slaat op het actief zijn van een toestel). Voor het gemiddelde en de variantie van X geldt:

Een rechtstreekse sommatie van de binomiale kansen tot en met stuit op moeilijkheden zoals het berekenen van de binomiaal coëfficiënt:

Ook met een benadering van de binomiale verdeling met een Poisson-verdeling krijgen we numerieke problemen.

Om de gevraagde kans te berekenen is hier een benadering met de normale verdeling het meest praktische. Stel W is normaal verdeeld met gemiddelde 20 en variantie 18. Definieer :